2024 年度，在推动数学与多学科深度融合、促进产学研协同创新的使命背景下，上海数学与交叉学科研究院（SIMIS）启动“应用与交叉合作项目”，支持9个重点课题。其中，“复杂疾病发生的网络拓扑解析”开发了一组解析复杂系统总体运行规律的广义统计物理学模型，以此构建影响肿瘤生长、肠道炎疾病发生、抗精神病药药物反应的高维互作网络 idopNetwork；同时，将Yau-Yau非线性滤波算法镶嵌进idopNetwork，利用该算法在线计算快、内存需求低的优良特性，重建随机 Yau-Yau 网络，由此，更精准地解释疾病形成与药理学的机理，开辟生命科学研究的新方法与新视野。近日，该研究成果在Cell Press合作期刊The Innovation第7卷以Report发表。
导 读
复杂系统普遍具有非线性、不确定性和噪声干扰的特征，这些特征使得直接揭示其内部运作机制变得困难。为应对这一挑战，本文基于Idopnetwork分析框架将Yau-Yau非线性滤波算法引入复杂系统建模中，提出了一种能够从带噪声观测数据中重建随机网络的新方法(Yau-Yau Network)。该方法为理解复杂系统中“无序中涌现有序”现象提供了全新的数学工具与视角。
图1 图文摘要
从细胞、微生物群落、人类大脑、生物体、生态系统乃至整个宇宙，从家庭到社会经济组织乃至国际局势——许多自然和社会现象都可能呈现为由众多相互作用部分组成的复杂系统。数学、统计学和计算学领域已发展出多种复杂系统解析方法，其中网络建模因其揭示隐性机制的能力而成为主流手段。具体而言，该方法不仅能刻画复杂交互模式，还能揭示复杂系统的本质涌现属性，从而解答“整体大于部分之和”的奥秘。
然而，现有的大多数网络建模方法仍属于确定性范畴，通常假设复杂系统不会随时间和环境干扰产生波动。复杂系统不仅可能呈现非线性特征，还可能包含随机性和噪声干扰——这些现象均不可避免。更详细来讲，非线性交互是整体大于部分之和现象的主要成因，而随机性则能帮助系统调整内部结构以适应环境变化、优化信息处理并增强稳健性。因此，在网络重建过程中若能同时考量主导复杂系统内部运作机制的三大特征——非线性、不确定性与噪声，将更有助于对复杂系统进行真实而全面的描述与解析。
图2 Yau-Yau随机网络分析与构建的全流程图
本研究引入Yau-Yau非线性滤波算法，用于从噪声数据中识别随机网络。滤波的核心目标是由一系列噪声数据获得随机复杂系统实际状态的精确估计或预测。滤波理论可追溯至两百年前高斯时代，但直至20世纪60年代才由R. E. 卡尔曼奠定基础。由此形成的卡尔曼滤波理论对理解随机系统具有重要意义，但其广泛应用受限于线性假设。此后许多非线性滤波理论被接连提出，其中基于状态条件密度函数演化方程（DMZ方程）衍生的方法和理论不在少数，而鲁棒形式的DMZ方程属于抛物型方程且系数包含观测值，直接求解较为困难。丘成桐与丘成栋通过将DMZ方程转化为前向柯尔莫哥夫方程（FKE），推导出优雅的求解算法（Yau-Yau滤波算法）。理论与实践均表明，Yau-Yau算法相较于经典的集成卡尔曼滤波器（EnKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）及粒子滤波方法更具优势。本文证明，基于Yau-Yau滤波器的随机网络能够捕捉复杂系统因随机性与不确定性产生的隐蔽模式与关联，为揭示自然与社会现象的波动机制提供了独特视角。
本研究为验证Yau-Yau算法的统计特性，在多种滤波系统假设下开展了一系列模拟实验。模拟结果表明，Yau-Yau算法在这些场景中表现优异，尤其在对观测数据正交化后效果显著。相较于现有最先进的确定性网络，Yau-Yau网络能识别每个成员在随机误差作用下真实的行为状态及其与其他成员的交互模式。理论上，自然现象的真实状态无法直接测量，但Yau-Yau网络能从观测数据中提取基本信息或原理。这些特性使Yau-Yau网络成为从混沌混乱中实现科学发现自动化的强大工具。
为了探寻Yau-Yau网在真实生态下构建随机网络的能力，我们设计并开展了一项生态实验，通过在同一培养基中联合培养三种常见细菌(大肠杆菌（Escherichia coli）、金黄色葡萄球菌（Staphylococcus aureus）和 绿脓杆菌（Pseudomonas aeruginosa）），构建出微型生态系统。确定性模型将三种细菌整合为idopNetwork，其中每对细菌间的相互作用明确表征为双向、带符号且加权的边。idopNetwork描绘了微生物丰度与相互作用随时间变化的轨迹，却无法捕捉物种时间点上的随机波动。在自然与生命系统中——例如土壤微生物群落、肠道微生物群落或海洋微生物群落——微生物活动始终呈现持续扰动趋势，以更好地适应生长过程中环境扰动的影响。Yau-Yau网络利用idopNetwork从观测数据中提炼出这种隐蔽的随机扰动，从而揭示支配自然与社会现象的生物学机制与规律。
总结与展望
在本研究中，我们将Yau-Yau非线性滤波算法融入统计力学框架，重建了复杂系统中至关重要的随机idopnetwork（即Yau-Yau网络）。并在研究中设计并开展了一系列仿真实验和生态实验展示出Yau-Yau网络在揭示复杂系统随机扰动上的效果与能力。
未来的研究将进一步聚焦于Yau-Yau网络在生物医学，金融市场等更广泛领域中的应用潜力。此外，本文构建的Yau-Yau网络由连续时间序列数据驱动，如何生成拟动态数据构建由更一般数据类型驱动的Yau-Yau网络也是未来值得思考的方向。同时，如何纳入高阶随机互作，构建超高维Yau-Yau网络以及与GLMY等拓扑理论工具有机结合，也是未来需要长期努力的议题。
本文内容来自Cell Press合作期刊The Innovation第7卷以Report发表的“Statistical learning of stochastic complex systems via the Yau-Yau nonlinear filter” (投稿: 2025-03-22；接收: 2026-01-10；在线刊出: 2026-01-15)。
DOI:10.1016/j.xinn.2026.101267
引用格式：Xu S., Wang Y., Wu S., et al. (2026). Statistical learning of stochastic complex systems via the Yau-Yau nonlinear filter. The Innovation 7:101267.
作者简介
邬荣领，1995年获美国华盛顿大学（西雅图）数量遗传学博士学位，现任北京雁栖湖应用数学研究院研究员、清华大学丘成桐数学科学中心曾思明讲座教授，是国家杰青（B类）获得者、教育部长江讲座教授、中组部“国家特聘专家”、北京市科技战略人才、入选全球2%顶尖科学家。研究兴趣包括：发展跨学科统计方法，揭示复杂性状及人类复杂疾病的遗传控制机理。提出的功能作图(functional mapping) 方法能有效发现复杂性状与复杂疾病的遗传规律，刻画基因效应随时空变化的关键模式。将功能作图与进化博弈论、尺度理论、食饵-捕食者理论、GLMY理论相结合，发展出一系列计算方法用于构建从分子到表型的多层次、多空间、多刻度的基因型-表型关系立体网络，为系统生物学、系统医学、系统药物学研究提供分析工具。
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